हेजिंग - विदेशी - fx - विकल्प

एफएक्स विदेशी विकल्प बुनियादी बातों के मूल सिद्धांतों की समीक्षा विदेशी मुद्रा जोखिम के घटक: आगे, स्वैप और वेनिला विकल्प FX विकल्प बाज़ार: कौन क्या करता है और क्यों सॉफ़्टवेयर समाधान: कौन से विक्रेता क्या ऑफर करता है - फ़ीनिक्स, सुपरडिगेरीवेटिव, ब्लूमबर्ग, वॉलमास्टर Murex, ICY, रॉयटर्स मूल्य निर्धारण और हेजिंग इन द ब्लैक-स्कोल्स मॉडल ब्लैक-स्कोल्स एफर्ट में मर्टन मॉडल कॉल के मूल्य की व्युत्पत्ति और विकल्प डालता है सूत्र के विस्तृत चर्चा ग्रीक: डेल्टा, गामा, थीटा, आरओ, वेगा, वाना, विल्वा, समरूपता और यूनानियों के बीच संबंध वनीला विकल्प पुट-कॉल समता, डाल-कॉल समरूपता, विदेशी घरेलू समरूपता एफएक्स, एटीएम और डेल्टा-सम्मेलनों में कोटेशन सम्मेलन दिनांक: व्यापार दिन, प्रीमियम भुगतान दिन, व्यायाम का समय, निपटान दिवस निपटान, फैलता है, सौदा प्रसंस्करण, काउंटरपार्टी जोखिम विदेशी विशेषताएं: आस्थगित भुगतान, आकस्मिक भुगतान, आस्थगित प्रसव, नकद निपटान, अमेरिकी और बरमूडा व्यायाम अधिकार, कट-ऑफ और फिक्सिंग मार्केट डेटा: दरें, फॉरवर्ड पॉइंट्स, स्वैप अंक, स्प्रेड फैलता है कार्यशाला: खुद को मूल्य निर्धारण के साथ अवगत कराएं सॉफ्टवेयर और बाजार उद्धरण वाल्टालिटी भ्रामक बनाम ऐतिहासिक उद्धरण deltas के संदर्भ में अवयव अस्थिरता शंकु अस्थिरता मुस्कान: शब्द संरचना, तिरछा, जोखिम उलट और तितलियों अस्थिरता स्रोत इंटरप उतार-चढ़ाव मुस्कुराहट सतह पर ओलाट और एक्सट्रपलेशन: एसएबीआर, वन्ना-वाल्गा, रीसविच-वाइस्टव फॉरवर्ड अस्थिरता कार्यशाला: अस्थिरता मुस्कुराहट के लिए अपना स्वयं का प्रक्षेप उपकरण बनाएं, डेल्टा के संदर्भ में यूनानियों की गणना करें, अस्थिरता जोखिम को हेजिंग करें, मुस्कान के साथ डेल्टा से हड़ताल प्राप्त करें वेनिला विकल्प के साथ स्ट्रक्चरिंग जोखिम रिवर्सल और भाग लेने वाले आगे स्प्रेड और सीगल स्ट्रेड्लस, स्ट्रांगल्स, तितलियों, कंडोडर्स डिजिटल विकल्प कार्यशाला: अपनी खुद की सीगल संरचना करें बिक्री मार्जिन शामिल करें शून्य लागत के लिए हल करें डेल्टा और वेगा हेज की गणना करें बोली-पूछो फैल पर चर्चा करें मुस्कुराहट प्रभाव का विश्लेषण करें स्ट्रक्चरिंग और वन्ना-वोल्गा-प्राइसिंग फर्स्ट जेनरेशन एक्सटिक्स: उत्पाद, मूल्य निर्धारण और हेजिंग डिजिटल विकल्प: यूरोपीय और अमेरिकी शैली, एकल और डबल बाधा बैरियर विकल्प: सिंगल और डबल, दस्तक-आउट और दस्तक-आउट, केआईकेओ, विदेशी बाधा विकल्प परिसर और किस्त एशियाई विकल्प: ज्यामितीय, अंकगणित और हार्मोनिक माध्य पर विकल्प पावर, लुकबैक, चयनकर्ता, पेलेटर कार्यशाला: जोखिम वापसी के साथ एक दस्तक आउट करने के लिए हेजिंग। अपने अर्द्ध-स्थिर हेजिंग टूल का निर्माण करें, आगे की अस्थिरता जोखिम पर चर्चा करें दोहरी मुद्रा संरचना और अन्य एफएक्स-लिंक्ड डिपॉजिट्स में संरचनाएं स्ट्रक्चरर्ड फॉरवर्डः शार्क फॉरवर्ड, बोनस फॉरवर्ड, रेंज-रिसेट फॉरवर्ड एफएक्स-लिंक्ड ब्याज दर स्वैप और क्रॉस कंट्री स्ैप्स विदेशी स्थान और फॉरवर्ड ट्रेड्स कार्यशाला: स्ट्रक्चरिंग अभ्यास: संरचनाओं का निर्माण, शून्य लागत के लिए हल, मुस्कुराओ समायोजन, बोली-पूछो फैलाव फैलता है वन्ना- वोल्गा मूल्य निर्धारण उच्च वरीयता वाले डेरिवेटिव्स वेंना-वोल्गा मूल्य निर्धारण के मूल्य पर कैसे प्रभाव लगाते हैं प्रकरण अध्ययन: एक स्पर्श, एक-स्पर्श मिसास चर्चा मॉडल जोखिम और विकल्प: स्टोकेस्टिक अस्थिरता कार्यशाला: मुस्कुराहट के साथ बाधा विकल्प का मूल्य बाज़ार मॉडल का अवलोकन स्टोचैस्टिक अस्थिरता मॉडल हेस्टन 9 93: मॉडल गुण, कैलिब्रेशन, मूल्य निर्धारण, पेशेवर और विपक्ष स्थानीय अस्थिरता: गुण, पेशेवर और विपक्ष स्टोचस्टिक स्थानीय वाष्पशीलता हाइब्रिड मॉडल सुपर - बाधा के विकल्प का पुन: विवरण: लीवरेज बाधाएं और उसका पहला ऑर्डर सन्निकटन - बाधा पारी का उपयोग करना। सुपर-रेप्युनिकेशन और वीना-वोल्गा सेकेंड पीढ़ी के एक्सटिक्स, प्राइसिंग और हेजिंग इश्यूज को बेसिक और टच ऑप्शंस वर्कशॉप और चर्चा: प्रमुख इमारत ब्लॉकों से बाधा और स्पर्श विकल्प के ब्रह्मांड का निर्माण कैसे करें: वेनिला और एक-टच अवशिष्ट जोखिम और सीमाएं स्थैतिक, अर्द्ध-स्थिर और गतिशील हेजिंग दृष्टिकोण स्टैंडर्ड बैरियर और टच विकल्प से परे एकल मुद्रा एक्जिटिक्स (वैनिला) विकल्पों में विदेशी विशेषताएं: आस्थगित भुगतान, आकस्मिक भुगतान, आस्थगित वितरण, नकदी निपटान, अमेरिकी और बरमूडा व्यायाम के अधिकार, कट-ऑफ और फिक्सिंग विदेशी बाधा और स्पर्श विकल्प Faders, गलियारों, संचयी आगे, लक्ष्य प्रतिदान आगे (टीआरएफ) आगे के विकल्प, स्टेप-अप समय विकल्प भिन्नता और अस्थिरता स्वैप कार्यशाला: संरचना और अपनी खुद की संचित आगे की कीमत। मुस्कुराओ समायोजन टीआरएफ के लिए सिमुलेशन टूल टीआरएफ हेजिंग मल्टी-मुद्रा एक्सोटिक्स की चर्चा अनुप्रयोगों के साथ उत्पाद का अवलोकन: क्वंटो विकल्प, बास्केट, फैलता, श्रेष्ठता, बाहर की बाधाएं सहसंबंध: निहित सहसंबंध, सहसंबंध जोखिम और हेजिंग, मुद्रा त्रिकोण और टेट्राहेड्रा ब्लैक-स्कोल्स मॉडल में मूल्य निर्धारण: विश्लेषणात्मक, द्विपदीय पेड़ों और मोंटे कार्लो कार्यशाला: मूल्य-निर्धारण और सहसंबंध, दो-मुद्रा सर्वोत्तम-को हेजिंग करते हैं: अपनी संवेदनशीलता और बचाव वेगा और सहसंबंध जोखिम की गणना करें दीर्घकालिक एफएक्स विकल्प (आमतौर पर गेस्ट स्पीकर द्वारा योगदान दिया गया है) बेसिस स्प्रेड का विकास उत्पाद रेंज, एफएक्स-लिंक बांड, दीर्घावधि वेनिला और पीआरडीसी मॉडलिंग के लिए दृष्टिकोण दृष्टिकोण और मॉडलिंग आवश्यकताओं के बारे में चर्चा ईमेल मुझे ईमेल के माध्यम से इस कोर्स के बारे में अपडेट करें ईक्सोटिक विकल्प और हाइब्रिड: संरचना, मूल्य निर्धारण और व्यापार के लिए एक गाइड हाल ही में वित्तीय संकट ने कई गलतफहमी और दुरूपयोगों को रोका विदेशी डेरिवेटिव का जिन खरीदारों के साथ वे काम कर रहे थे, उन उत्पादों को समझने में दोषी नहीं होने के कारण दोनों खरीद और बेचने वाले बाजारों पर बाजार सहभागियों के साथ, पहले कभी भी स्पष्टीकरण और स्पष्टीकरण की आवश्यकता नहीं थी। विदेशी विकल्प और हाइब्रिड संरचनात्मक, मूल्य निर्धारण और जटिल विदेशी विकल्प और हेइब्रिड डेरिवेटिव्स के लिए एक व्यावहारिक मार्गदर्शिका है जो हाल ही के संकट के माध्यम से पाठकों को सेवा प्रदान करेगा, वसूली का रास्ता, अगले बैल बाजार और उससे आगे। अनुभवी चिकित्सकों द्वारा लिखित, यह व्युत्पन्न 8217 के जीवन के तीन मुख्य भागों पर केंद्रित है: एक उत्पाद की संरचना, इसकी कीमत और उसके हेजिंग। चार भागों में विभाजित, इस पुस्तक में कई संरचनाएं शामिल हैं, जिसमें विदेशी इक्विटी डेरिवेटिव और संरचित नोट्स से हाइब्रिड डेरिवेटिव और डायनेमिक स्ट्रैटेजीज के लिए सबसे अप-टू-डेट और होनहार उत्पाद शामिल हैं। व्यापार के दिल से यथार्थवादी सेटिंग के आधार पर, एक डेरिवेटिव संचालन के अंदर, इन पहलुओं की व्यावहारिक और सहज विचार-विमर्श इन विदेशी अवधारणाओं को वास्तव में सुलभ बनाते हैं। वास्तविक व्यापार के दत्तक लेने के बारे में विस्तार से जांच की जाती है, और सभी उदाहरणों को ध्यान से चुना जाता है ताकि व्यापार के दिलचस्प और महत्वपूर्ण पहलुओं को उजागर किया जा सके। पेऑफ संरचनाओं का परिचय परिदृश्य विश्लेषण, आरेख और lifelike नमूना शब्द पत्रक के साथ है। पाठक सीखते हैं कि कैसे इस तरह के उत्पादों के ध्वनि मूल्यांकन और हेजिंग के लिए रास्ता मुहैया कराने के जोखिम खतरे में हैं। पाठ में विवादित प्रश्न और साथ-साथ चर्चाएं भी हैं, जिनमें से प्रत्येक ने उनके संदर्भ में एक या एक से अधिक अवधारणाओं को स्पष्ट करने के लिए शोषण किया है। मॉडल लागू करने के बजाय, उत्पादों और उनके जोखिमों की प्रासंगिकता में, विभिन्न मॉडलों की ताकत और सीमाएं हाइलाइट की गई हैं। अलग-अलग समर्पित वर्गों में मॉडल फूट पड़ते हैं, लेकिन उनके प्रभाव को संपूर्ण पुस्तक में एक सहज और गैर-गणितीय तरीके से जोड़ दिया गया है। व्यावहारिक, गैर-गणितीय और अत्यधिक सहज सेटिंग में विदेशी विकल्पों और संकरों पर चर्चा करके, यह पुस्तक विदेशी डेरिवेटिव की गलतफहमी के माध्यम से विस्फोट करेगी, जिससे चिकित्सकों को पूरी तरह से समझने और सही ढंग से संरचना, कीमत और हेस दास उत्पादों को प्रभावी ढंग से सक्षम बनाया जा सकेगा केवल 8220 एक्सोटिकॉटी 8221 अवधारणाओं को वास्तव में सुलभ बनाने के लिए अपनी कक्षा में पुस्तक प्रतीकों और संकेताक्षरों की सूची। भाग मैं फाउंडेशन 1 बेसिक इंस्ट्रूमेंट्स 1.2 ब्याज दरें 1.3 इक्विटी और मुद्राएं 2 संरचित उत्पादों की दुनिया 2.1 उत्पाद 2.2 बिक्री पक्ष 2.3 खरीदें साइड 2.5 इक्विटी लिंक्ड नोट का उदाहरण 3 वेनिला विकल्प 3.1 विकल्प की सामान्य विशेषताएं 3.2 कॉल करें और विकल्प का भुगतान करें 3.3 पुट 8211 कैल समता और सिंथेटिक विकल्प 3.4 ब्लैक 8211 स्कोल मॉडल मॉडल एम्पॉम्प्शन। 3.5 एक यूरोपीय कॉल विकल्प का मूल्य निर्धारण। 3.6 एक यूरोपीय रखो विकल्प का मूल्य निर्धारण 3.7 हेजिंग की लागत 3.8 अमेरिकी विकल्प 3.9 एशियाई विकल्प 3.10 स्ट्रक्चरिंग प्रोसेस का एक उदाहरण 4 अस्थिरता, स्क्वव और टर्म स्ट्रक्चर। 4.2 अस्थिरता सतह 4.3 अस्थिरता मॉडल 5 विकल्प संवेदनशीलता: ग्रीक 5.6 यूनानियों के बीच संबंध 5.7 वोल्गा और वन्ना 5.8 बहु-परिसंपत्ति संवेदनशीलता 5.9 काले 8211 स्कोल्लों और यूनानियों के अनुमान। 6 विकल्पों को शामिल करने वाली रणनीतियाँ 6.1 पारंपरिक हेजिंग रणनीतियाँ 6.2 कार्यक्षेत्र फैलता है। 6.3 अन्य स्प्रेड 6.4 विकल्प संयोजन 6.5 इम्प्लाइड अस्थिरता सतह की आर्बिट्रेज फ्रीडम। 7.1 बहु-संपत्ति विकल्प 7.2 सहसंबंध: मापन और व्याख्या। 7.3 बास्केट विकल्प 7.4 मात्रा समायोजन विकल्प: Quantos 7.5 ट्रेडिंग सहसंबंध भाग II एक्सीट डेरिवेटिव और स्ट्रैक्चरर्ड उत्पादों। 8.1 फैलाव और व्याख्याओं के उपाय 8.2 सबसे खराब विकल्प 8.3 सर्वोत्तम विकल्प 9 फैलाव विकल्प 9.1 रेनबो विकल्प 9.2 व्यक्तिगत रूप से कैप बास्केट कॉल (आईसीबीसी)। 9.3 आउटपरफॉर्मेंस ऑप्शंस 9.4 अस्थिरता मॉडल 10 बाधा विकल्प 10.1 बैरियर विकल्प भुगतान 10.2 ब्लैक 8211 स्चोलोज़ मूल्यांकन। 10.3 हेजिंग डाउन-एंड-इन पुट्स 10.4 संरचित उत्पादों में बाधाएं 11.1 यूरोपीय दिग्गजों 11.2 अमेरिकी डिजिटलीशिप 11.3 जोखिम विश्लेषण 11.4 यूरोपीय दिग्गजों को शामिल करने वाले संरचित उत्पाद 11.5 अमेरिकी दिग्गजों को शामिल करने वाले संरचित उत्पाद। 11.6 आउटपरफॉर्मेंस डिजिटल 12 आटोक्लेबल स्ट्रक्चर 12.1 एकल एसेट आटोक्लेबल 12.2 आटोक्लेबल पार्टिसिपेटिंग नोट 12.3 डाउन-एंड-इन पुट्स के साथ ऑटोकॉल्बल्स 12.4 बहु-संपत्ति आटोक्लेबल एक्सचेंज स्ट्रक्चरर्स पर पार्ट III अधिक 13 द क्लाइवेट फ़ैमिली 13.1 अग्रेषण विकल्प प्रारंभ करना 13.2 स्थानीय फर्श और कैप्स के साथ क्लिक्ट्स। 13.4 रिवर्स क्लिक्केट 14 अधिक क्लिकेट्स और संबंधित स्ट्रक्चर 14.1 अन्य क्लिक्केट 14.2 बहु-संपत्ति क्लैकेट 14.4 लुकबैक विकल्प 15 पर्वत रेंज विकल्प 15.4 किलिमंजारो चयन 15.6 मूल्य निर्धारण पर्वत रेंज उत्पाद 16 अस्थिरता संजात 16.1 अस्थिरता संजात की आवश्यकता 16.2 ट्रेडिंग अस्थिरता के लिए पारंपरिक तरीके 16.3 भिन्न स्वैप 16.4 भिन्न स्वैप पर भिन्नता। 16.5 अनुमानित विचरण पर विकल्प 16.6 VIX: वाष्पशीलता सूचकांक 16.7 प्रसरण विच्छेद भाग IV संकर डेरेविटेविज और गतिशील रणनीतियों 17 एसेट क्लासेस (आई) 17.1 ब्याज दरें 18 एसेट क्लासेस (II) 18.1 विदेशी मुद्रा 1 9 स्ट्रक्चरिंग हाइब्रिड डेरिवेटिव 19.2 उपज संवर्धन 1 9 .3 बहु-संपत्ति वर्ग दृश्य। 19.4 मल्टी-एसेट क्लास जोखिम हेजिंग। 20 मूल्य निर्धारण हाइब्रिड डेरिवेटिव 20.1 अतिरिक्त संपत्ति वर्ग मॉडल 21 गतिशील रणनीतियाँ और विषयगत सूचकांक 21.1 पोर्टफोलियो प्रबंधन अवधारणाओं 21.2 गतिशील रणनीतियाँ 21.3 थीमिक उत्पाद ए 2। स्थानीय अस्थिरता मॉडल ए 3। स्टेचैस्टिक अस्थिरता ए.5। हुल्ल 8211 वाइट ब्याज दर मॉडल और एक्सटेंशन बी .1 वेनिला कीमतों और यूनानियों के लिए अनुमान। बी। 2 टोकरी मूल्य अनुमान बी 3। आईसीबीसीसीबी इनएक्वालिटी बी। 4 अंक: वेगा और आगे की स्थिति। मोहम्मद बौझौबा डेरिवेटिव की दुनिया में एक अनुभवी व्यवसायी है, और वर्तमान में सीडीजी कैपिटल में डेरिवेटिव ट्रेडिंग और स्ट्रक्चरिंग का प्रमुख है। इक्विटी, क्रेडिट और फिक्स्ड आय डेरिवेटिव्स में शामिल जोखिमों में विशेषज्ञता वाले सोफिस में एक जोखिम और फंड मैनेजमेंट विशेषज्ञ के रूप में, पेरिस में सोसाइटी 233 टी 233 जी 233 एन 233-आरआर में इक्विटी डेरिवेटिव सेल्स में पदों वाले विदेशी विकल्प और हाइब्रिड में विषयों के स्पेक्ट्रम का उनका पेशेवर विशेषज्ञता फैला है। दुबई में फर्स्ट गल्फ बैंक में लंदन में इक्विटी स्ट्रक्चर्ड प्रोडक्ट मैनेजर के रूप में भालू स्टर्न्स में डेरिवेटिव संरचना के रूप में जेपी मॉर्गन चेस। मोहम्मद वित्तीय इंजीनियरिंग में और एप्लाइड गणित में स्नातकोत्तर डिग्री धारण करते हैं। एडीएल ओएससीआईआरएएन प्रशिक्षण के द्वारा एक गणितज्ञ है। व्युत्पन्न कीमतों में एक वित्तीय व्यवसायी के रूप में उनका काम भी एक मात्रात्मक विश्लेषक के रूप में सामने वाले कार्यालय की भूमिकाओं में और लंदन के डेरिवेटिव संरचना के रूप में कार्य करना शामिल है। उन्होंने ऑक्सफ़ोर्ड विश्वविद्यालय में गणित और इंपीरियल कॉलेज लंदन में वित्तीय गणित में पीएचडी स्तर का अध्ययन किया। दोनों खरीदें और सहेजें 25 विदेशी विकल्प और संकर: स्ट्रक्चरिंग, प्राइसिंग और ट्रेडिंग के लिए एक गाइड (पाउंड 66.9 9 यूरो 6 83.80) कुल सूची मूल्य: पाउंड 107.98 यूरो यूरो 1,35.10 रियायती मूल्य: पाउंड 80.98 यूरो 101.32 (सेव: पाउंड 27 00 यूरो .33.78) किसी अन्य ऑफर के साथ जोड़ा नहीं जा सकता अधिक जानें। पीटर कैरर, कैटरीना इललिस, और विसल गुप्ता इस पत्र में मानक विकल्पों का उपयोग करते हुए कई विदेशी विकल्पों के लिए स्थिर हेजेज विकसित किए गए हैं। यह विधि यूरोपियन के बीच के रिश्तों पर निर्भर करता है और अलग-अलग हड़ताल की कीमतों के साथ कॉल करता है। विश्लेषण निरंतर, अस्थिरता या अस्थिरता मुस्कुराहट या मताधिकार के लिए अनुमति देता है। थिस्पेपर जेनेरियसजेस बाइटेस (1 9 88) की वजह से यूरोपियन बीच अलग-अलग हड़तालों के साथ संपर्क करता है और कॉल करता है। हम सामान्यीकृत परिणाम डाल-कॉल समरूपता (पीसीएस) का प्रयोग करते हैं और इसका उपयोग कुछ विदेशी विकल्पों के मूल्यांकन और स्थिर हेजिंग के लिए एक विधि विकसित करने के लिए करते हैं। हम पथ-आश्रित विकल्पों पर ध्यान केंद्रित करते हैं जो एक या अधिक महत्वपूर्ण मूल्य स्तरों पर, ihar-acteristics को बदलते हैं, उदाहरण के लिए, बाधा और लुक-बैक विकल्प और उनके एक्सटेंशन हम अमेरिकी ओहशियन विकल्पों की जांच नहीं करते हैं हालांकि ये विकल्प मूल्यवान हो सकते हैं और लॉन्गर-खराब मॉडल में गतिशील रूप से हेज किए जा सकते हैं, लेकिन हम थोड़े अधिक सामान्य प्रसार सेटिंग में मूल्यांकन और स्थैतिक हेजिंग की पेशकश करते हैं। बॉवी और कैर (1 99 4) और डर्मन, एर्गनर और कानी (1 99 4) में हम मानक विकल्पों के स्थैतिक पोर्टफोलियो बनाते हैं जिनके मूल्यों की समाप्ति पर और बाउंड-एरिज़ पर पथ-आश्रित विकल्प के भुगतान का मिलान होता है। चूंकि पथ-आश्रित विकल्पों में हम अक्सर उच्च गम-मस की जांच करते हैं, मानक विकल्प का उपयोग करते हुए स्थिर हेजिंग गतिशील हेजिंग से काफी आसान और सस्ता हो जाएगा। इसके अलावा, गतिशील हेडिंग के विपरीत, मानक विकल्पों में हमारी स्थिर स्थिति अस्थिरता, अनगिनत दर और लाभांश के लिए अपरिवर्तनीय है, जो उन्हें अनुमान लगाने की आवश्यकता को दरकिनार कर रही है। क्योंकि मॉर्गन स्टेनली में इक्विटी डेरिवेटिव रिसर्च में वीर एक वीपी है एलिस जॉनसन ग्रेजुएट स्कूल ऑफ मैनेजमेंट, कॉर्नेल यूनिवर्सिटी में स्नातक छात्र हैं। गुप्ता गोल्डमैन सैक्स में हैं, यह काम पूरा हुआ, जब वह जॉन्सन ग्रेजुएट स्कूल ऑफ मैनेजमेंट, कॉर्नेल विश्वविद्यालय में एमबीए के छात्र थे। हम वॉरेन बेली, हेल बिअर्मन, सर्जियो बिएन स्टॉक, फेलीम बॉयल, लिंडा कैनाना, मेलानी काओ, नारत चारुपत, नील क्रिस:, इमानुएल डार-मैन, झेंयू डुनमू, लैरी हैरिस, एरिक जैकीयर, रॉबर्ट जारो, इरज कानी के आभारी हैं। , एंटोनी कोट्जे, जेम्स कूज़मर्स्की, रॉबर्ट मर्टन, एलन शापिरो, और विशेषकर जोनाथन बॉवी उनके कॉमरेस्ट के लिए। हम इसी तरह फील्ड्स इंस्टीट्यूट में प्रस्तुतियों के प्रतिभागियों और अस्थिरता, इक्विटी डेरिवेटिव और विदेशी विकल्पों पर जोखिम सम्मेलनों में शुक्रिया अदा करना चाहते हैं। अंत में, हम कॉर्नेल विश्वविद्यालय, गोल्डमैन सैक्स, हार्वर्ड यूनिवर्सिटी, जेपी मॉर्गन, मॉर्गन स्टेनली, नेशन्सबैंक, सॉलोमन ब्रदर्स और दक्षिणी कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय में वित्त कार्यशालाओं के प्रतिभागियों को धन्यवाद करते हैं। हम CEM Inal की उत्कृष्ट अनुसंधान सहायता को भी स्वीकार करते हैं। वे किसी भी त्रुटि के लिए ज़िम्मेदार नहीं हैं उदाहरण के लिए, बार्ट विकल्प ब्लैक-स्कोल्स (1 9 73) मॉडल में मर्टन (1. 9 73) में मूल्यवान हैं। हालांकि, हम t. hese invariance परिणाम प्राप्त करने के लिए मूल्य प्रक्रिया पर एक निश्चित संरचना मानते हैं। विशेष रूप से, हम यह मानते हैं कि अंतर्निहित होने की लागत शून्य है, और इसकी अस्थिरता एक समरूपता प्रतिबंध को संतुष्ट करती है। पथ-आश्रित विकल्प जो हम जांचते हैं अक्सर वाष्पशीलता के प्रति बेहद संवेदनशील होते हैं, गतिशील हेजिंग के साथ वाष्पशीलता के संदेश-प्रेषण के कारण हेजिंग त्रुटि पर्याप्त हो सकती है। हमारे पीसीएस रिलेशनशिप को विस्तार और व्यापक रूप से ज्ञात कॉल-कॉल समता (पीसीपी) परिणाम के प्रतिबंध के रूप में देखा जा सकता है। सामान्यीकरण में डाल दिया गया है और कॉल के हमले को एक निश्चित व्यक्ति में अलग करने की अनुमति देता है। इस परिणाम को प्राप्त करने के लिए पर्याप्त प्रतिबंध अनिवार्य रूप से है कि अंतर्निहित कीमत की प्रक्रिया में शून्य बहाव और एक सममित वाष्पशीलता की संरचना है, जो नीचे वर्णित है। बाकी के कागज का आयोजन इस प्रकार किया गया है। धारा मैं पीसीएस के पीछे की समाप्ति और अंतर्ज्ञान प्रस्तुत करता है, जो कि हमारी हेजिंग रणनीति के लिए आधार है। धारा I1 एकल बाधा विकल्प के स्थिर प्रतिकृति की समीक्षा करता है I1 अनुभाग I11 कई विकल्पों पर ध्यान केंद्रित करता है, जिसमें कई बार बाधाएं आती हैं, जैसे कि डबल नाकआउट, रोल-डाउन, शाफ़्ट, और लुकबैक विकल्प। खंड 4 में, हम शून्य बहाव की धारणा को आराम करते हैं और पहले के वर्गों में विकसित स्थैतिक हेजेज पर कठोर सीमा प्रदान करते हैं। धारा वी कागज समाप्त करता है और परिशिष्ट में हमारे परिणामों का समर्थन करने वाले गणितीय विवरण होते हैं। I Put-Call Symmetry इस पेपर के दौरान हम यह मानते हैं कि बाजार कठोर हैं और कोई मध्यस्थता अवसर नहीं हैं I चलो पी (के) और सी (के), एक यूरोपीय के समय 0 मूल्य को निरूपित करते हैं और क्रमशः कॉल करते हैं, दोनों विकल्पों के साथ कश्मीर में मारा और टी पर परिपक्व हो। क्योंकि परिपक्वता किसी भी उदाहरण में हम सभी उपकरणों के लिए समान हैं, हम अंकन को कम करने के लिए परिपक्वता के लिए समय पर निर्भरता को दबा देते हैं। चलो बी को शुद्ध डिस्काउंट बोनस के मूल्य को निरूपित करें टी पर एक डॉलर का भुगतान करते हैं। फिर पुट-कॉल पेरिटी को टाइम टी डिलीवरी के लिए अग्रेषित मूल्य एफ के संदर्भ में व्यक्त किया गया है पीसीपी का अर्थ है कि अगर डाल और कॉल का आम स्ट्राइक है वर्तमान अग्रिम मूल्य, तो विकल्प एक ही मूल्य है। चूंकि बढ़ते हड़तालों और कॉल मूल्य में कमी के साथ मूल्यों में वृद्धि हुई है, हम यूरोपीय के लिए समानताएं लिख सकते हैं और कहता है कि किसके हमले आगे की तरफ से समान हैं इसके विपरीत, पीसीएस स्लैलड पॉइंट्स के बीच एक समानता है और कॉल करता है जिनके हमले आगे के विपरीत पक्ष में हैं। पीसीएस प्राप्त करने के लिए, अंतर्निहित परिसंपत्ति की कीमत को नियंत्रित करने वाले स्टोचस्टिक प्रक्रिया पर कुछ प्रतिबंध लगाए जाते हैं। विशेष रूप से, हम यह मानते हैं कि अंतर्निहित मूल्य प्रक्रिया एक प्रसार है, शून्य जोखिम के तहत किसी भी जोखिम-तटस्थ उपाय के तहत, और जहां उतार-चढ़ाव गुणांक एक निश्चित सिम-मेट्री स्थिति को संतुष्ट करता है इस प्रकार, हम कीमत की प्रक्रिया में कूद को छोड़ देते हैं और यह मानते हैं कि किसी भी रोक के समय की प्रक्रिया शुरू होती है, जैसे कि किसी बाधा के पहले पारस्परिक समय पर। शून्य जोखिम-तटस्थ बहाव की धारणा अप्रकाशित परिसंपत्ति के आगे या वायदा कीमत पर लिखी गई आयनों के लिए, op1 के लिए निन्दा है। स्पॉट प्राइस पर लिखा आयनों को चुनने के लिए, धारणा शून्य से लेकर लागतों का मतलब है .3 इस प्रकार, न-ड्र्रिफ्ट प्रतिबंध का मतलब है कि मौके पर लिखे गए विकल्प व्यवहार करते हैं जैसे कि वे आगे की कीमत पर लिखे गए थे। हम धारा IV में शून्य बहाव की धारणा को आराम करते हैं और विकल्पों के मूल्य पर तंग सीमा प्राप्त करते हैं जिनके भुगतान मौके की कीमत पथ पर निर्भर करते हैं। इस पत्र के दौरान, हम मानते हैं कि अग्रेषित मूल्य की अस्थिरता एक ज्ञात समारोह है (एफटी, टी) अग्रेषित मूल्य फीट और समय टी हम निम्नलिखित समरूपता की स्थिति: एक (एफटी, टी) ए (एफ 2 एफटी, टी) सभी फीट 2 0 और टी ई ओ, टी, (2) के लिए भी कहें, जहां एफ चालू वर्तमान मूल्य है। इस प्रकार किसी भी भविष्य की तारीख में उतार-चढ़ाव किसी भी दो स्तरों के समान माना जाता है जिसका ज्यामितीय मतलब वर्तमान आगे है। यह समरूपता की स्थिति ब्लैक (1 9 76) मॉडल में संतुष्ट होती है जहां वाष्पशीलता नियतात्मक है, यानी ए (एफटी, टी) ए (टी)। एक्सटी-एलएन (एफटीएफ) के फ़ंक्शन के रूप में वॉल-अंटिलिटी को गहराया जाता है, तो समरूपता उत्पन्न होती है। वी (एक्स, टी) ए (एफटी, टी) देकर समतुल्य स्थिति है: इस प्रकार, समरूपता की स्थिति मॉडल के साथ ही केएफ के लॉग में एक सममित स्माइल 4 के साथ संतुष्ट होती है। नतीजतन, केएफ के खिलाफ उतार-चढ़ाव का एक ग्राफ असिममित होगा, आगे की ओर से समान-हड़तालों के लिए कॉल अस्थिरता की तुलना में उच्चतर अस्थिरता के साथ। अंत में, समरूपता की स्थिति भी अस्थिरता के कारण या अधिक जटिल पैटर्न के लिए भी अनुमति देती है। उपरोक्त मान्यताओं को देखते हुए, परिशिष्ट - IX proves5: (हेन फ्रैक्शनिज मार्केट्स, कोई मध्यस्थता, शून्य बहाव, और समरूपता की स्थिति, निम्नलिखित रिश्ते हैं: जहां कॉल स्ट्राइक के जियमेट्रिक माध्य और डाल स्ट्राइक एच अग्रेषित मूल्य है एफ: इस प्रकार, एकल स्टॉक या स्टॉक इंडेक्स पर लिखे गए विकल्पों के लिए, नो-ड्रिफ्ट धारणा से पता चलता है कि लाभांश की उपज हमेशा जोखिम मुक्त दर के बराबर होती है। स्थान एफएक्स के विकल्प के लिए, नो-ड्रिफ्ट धारणा का अर्थ है कि विदेशी ब्याज दर हमेशा घरेलू दर के बराबर होती है। वस्तु के मौके पर विकल्पों के लिए, धारणा यह दर्शाती है कि सुविधा पैदावार जोखिम रहित दर है। ध्यान दें कि गले लगाया गया मुस्कुराहट स्थानीय अस्थिरता में है, जैसा कि ब्लैक (1 9 76) मॉडल के विपरीत है अस्थिरता.बेट्स (1 9 88) पहली बार लगातार अस्थिरता के लिए यह परिणाम साबित कर देता है। बॉट्स (1 99 1) को देखें कि दुर्घटनाग्रस्त होने के लिए असमाधान के निहितार्थ के उत्कृष्ट प्रदर्शन के लिए चित्रा 1 चित्रा 1. पुट-गैल सममिति (पीसीएस) का विवरण। सेंट आरईसी 16 समानता के साथ 4 पॉइंट के बराबर है, जब फॉरवर्ड कीमत 12 है। पीसीएस के नतीजे के एक संख्यात्मक उदाहरण पर विचार करें: जब मौजूदा फॉरवर्ड 12 होता है, तो 16 पर एक कॉल को समान मान होता है, जैसा कि 9 पर होता है। यह उदाहरण चित्रा 1 में दर्शाया गया है। इसका कारण है कि कॉल का अधिक मूल्य है, भले ही यह अधिक-से-धन-राशि के बराबर है, यह है कि हमारी प्रसार प्रक्रिया में अधिक अस्थिरता-मुर्दा की कीमतें कीमतों की तुलना में कम हैं। चूंकि कॉल और पेआउट को टर्मिनल मूल्य और स्ट्राइक के बीच अंकगर्मी दूरी से निर्धारित किया जाता है, उच्च मूल्यों पर उच्च निरंतर अस्थिरता उच्च कॉल मूल्यों की ओर जाता है। पीसीएस के लिए एक अंतर्ज्ञान पॉट-कॉल समता के लिए निम्नलिखित अंतर्ज्ञान को सामान्य करने से उत्पन्न होता है। टर्मिनल कीमतों के उद्धरण-तटस्थक्लॉट घनत्व का एक ग्राफ कल्पना करो और मान लें कि क्षैतिज अक्ष को आधार खोजने के उद्देश्य से एक पच्चर पर रखा गया है। टर्म के मुकाबले एकीकृत पच्चर से घनत्व और दूरी के दायरे के संतुलन के आधार पर बल मिला है। दूसरे शब्दों में, असफलता जोखिम के तहत अपेक्षित मूल्य पर होती है - तटस्थ वितरण, जो कि मौजूदा अग्रिम मूल्य है। फलक के दायीं ओर कील से घनत्व और दूरी के उदहारण को समझाते हुए आगे बढ़ने पर यूरोपीय कॉल की कीमत (आगे) की कीमत बताई जाती है। इसी तरह, घनत्व के उत्पाद और आधार के बायीं तरफ पच्चर से पूर्ण दूरी को मिलाकर आगे बढ़ने वाली यूरोपीय मुद्रा की आगे कीमत बताती है। चूंकि विकल्प 9 फ़ॉरवर्ड कीमतों के अनुरूप है, उनके मौके की कीमतों में भी एक साधारण लागत के सापेक्ष मूल्य के कारण होता है। पीसीएस के परिणाम (समीकरण (4)) से पता चलता है कि कॉल को द्वि-किराया में दो बार मारा गया, आगे की तरफ से आधे पीढ़ी के मुकाबले मूल्य का दो बार है। संपूर्ण अस्थिरता को मूल्य में परिवर्तन के मानक विचलन के रूप में परिभाषित किया जाता है, अर्थात एसडीडी (डीएफ)। इसके विपरीत, सामान्य अस्थिरता को सापेक्ष मूल्य में परिवर्तन के मानक विचलन के रूप में परिभाषित किया जाता है, अर्थात एसडीडी (डीएफ 1 एफ)। इन quotwingerquot विकल्पों के लिए उपरोक्त संतुलन अंतर्ज्ञान का विस्तार करने के लिए, अब हम सोचते हैं कि क्षैतिज अक्ष दो पहियों पर रखी गई है, जो कि वर्तमान के अग्रिम मूल्य के आधार पर स्थित है और दूसरी ओर वर्तमान फॉरवर्ड कीमत से दोगुना है। इसके बाद दो बार आगे से घनत्व और दूरी के नमक उत्पाद विंगर कॉल (आगे) मूल्य देता है इसी तरह, घनत्व और पूर्ण दूरी के निचले उत्पाद का आधा आगे नीचे विंगर डाल देता है (आगे) मूल्य यदि वेजेस के बीच का घनत्व निकाल दिया जाता है, तो अक्ष सही दिशा में टिप देगा क्योंकि कॉल को डाल से अधिक मूल्यवान है हालांकि, आधी हिस्से के घनत्व को दोगुना करना शेष राशि को बहाल करेगा। दूसरे शब्दों में, दो ऐसे डाले के पास एक कॉल के समान मूल्य होता है। 11. एकल बाधा विकल्प इस खंड में हम मार्ग-स्वतंत्र मानक विकल्पों के संदर्भ में एक बाधा 7 के साथ पथ-आश्रित विकल्पों का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस परिणाम को प्रदान करने की चाबी है पुट-कॉल समरूपता, जो धारण करने के लिए माना जाता है जब अंतराल पहले बाधा मूल्य तक पहुंचता है इस प्रकार, अस्थिरता के लिए समरूपता का अक्ष है बाधा मूल्य सामान्यता के नुकसान के बिना, हम मूल्य निर्धारण और दस्तक आउट कॉलों पर ध्यान देते हैं। इस तरह के कॉल नियमित कॉल की तरह व्यवहार करते हैं, सिवाय इसके कि वे पहली बार निरूपित कर रहे हैं, जो अंतर्निहित हिट को एक पूर्वनिर्धारित अवरोध है। इसके विपरीत, कॉल में दस्तक मानक कॉल बन जाते हैं जब बाधा हिट हो जाती है और अन्यथा बेकार हो जाती है। मूल्यांकन मूल्य और दस्तक आउट कॉल के लिए हेजिंग रणनीति को देखते हुए, कॉल में दस्तक के लिए संबंधित परिणामों को निम्नलिखित समता रिलेक्शन 8 का उपयोग करके पुनर्प्राप्त किया जा सकता है: जहां आईसी (के, एच) (ओसी (के, एच)) एक इन-कॉल है हड़ताल कश्मीर और बाधा के साथ एचए नीचे और आउट कॉल परिभाषा के अनुसार, हड़ताल के साथ एक डाउन एंड आउट कॉल (डीओसी) और बाधा एच एलटी के बेकार हो जाता है अगर एच अपने जीवन के दौरान किसी भी समय मारा जाता है यदि बाधा समाप्ति की तारीख से हिट नहीं हुई है, तो टर्मिनल पेफफ़ेस्ट एक मानक कॉल का होता है जो कि कश्मीर पर होता है। हमें डाउन-एंड-आउट कॉल को हेज करने के लिए हमें टर्मिनल पेऑफ और बैरियर के साथ पेओऑफ से मिलान करना होगा। इस प्रकार हेज का निर्माण करने में पहला कदम टर्मिनल पेऑफ से मेल खाना है, जिसे एक मानक कॉल, सी (के) खरीदकर किया जाता है। अब हमें बाधा के साथ विकल्प मानों पर विचार करें। जब एफ एच, डीओसी बेकार है, जबकि हमारे वर्तमान हेज सी (के) में सकारात्मक मूल्य है। इस प्रकार हम कॉल विकल्प पर ध्यान केंद्रित करते हैं, रीडर के लिए व्यायाम के रूप में बोलने के लिए समान परिणाम छोड़कर। यह परिणाम अमेरिकी विकल्पों के लिए नहीं है एक सुस्पष्ट चर्चा के लिए क्रिसिस (1 99 6) देखें समय (साल) 95 मूल्य समय (साल) 95 मूल्य समय (साल) 95 मूल्य चित्रा 2. एक डाउन एंड आउट कॉल (के 400, एन 95) के लिए स्टेटिक हेज। पैनल ए यूरोप की एक कॉल के मूल्य को दर्शाता है, जो स्टॉक की कीमतों में 9 2 से 105 तक और समय से लेकर एक वर्ष तक की परिपक्वता तक 100 रुपये पर आ गई है। अक्ष का लेबल समय परिपक्वता के लिए समय इंगित करता है। पैनल बी में 1.0526 डालर का मूल्य 90.25 पर देखा गया। नोट करें कि ग्राफ़ 95 की बाधा के समान हैं। पैनल सी, पहले दो रेखांकन के बीच अंतर को दर्शाता है, यह दर्शाता है कि प्रतिकृति पोर्टफोलियो मान बाधा के साथ गायब हो जाता है। एक उपकरण को बेचने की आवश्यकता है जो कि यूरोपीय कॉल के समान मूल्य है जब आगे की कीमत बाधा पर है। पीसीएस का उपयोग करते समय 4 क्वोट एच, हमें प्राप्त मिलता है, इस प्रकार, हमें एच 2 केपी 1 पर मारा केएचएलएल यूरोपीय डालर को लिखने की जरूरत है। इस प्रकार डीओसी के लिए पूर्ण प्रतिकृति पोर्टफोलियो मानक विकल्पों में एक खरीद और पकड़ वाली इकाई है, जो कि विकल्प की शुरुआत में खरीदी जाती है यदि बाधा समाप्ति से पहले हिट हो जाती है, तो नकल पोर्टफोलियो को पीसीएस के साथ नष्ट कर दिया जाना चाहिए ताकि गारंटी दी जा सके कॉल को बेचने से पूंछ को वापस खरीदने की लागत से बिल्कुल ऑफसेट होता है यदि बाधा समाप्ति से पहले नहीं मारा जाता है, तो लंबी कॉल वांछित टर्मिनल पेआउट देती है और लिखित लिखतों को बेकार की तरह समाप्त हो जाता है, जैसा कि एच 2 के-आई लेफ्टिनेंट एच है जब एच एल. टी. के। चित्रा 2 में एक डाउन-एंड-आउट कॉल की प्रतिकृति दिखाती है हड़ताल कश्मीर 100, बाधा एच 95, और एक वर्ष की प्रारंभिक परिपक्वता। पैनल ए एक का एक आवश्यक हड़ताल K, H2K-I, समीकरण (5) से है, और इसे समीकरण (4) में बदलकर परिणाम देता है एक ही हड़ताल और परिपक्वता के साथ मानक कॉल नीचे और बाहर के रूप में बाधा एफ 95 के साथ, कॉल में सकारात्मक मूल्य है। पैनल बी Kf4-I 1.0526 का है जो एच 2 के-आई 90.25 में मारा गया है। ध्यान दें कि इनमें से मान मानक कॉल के बाधा एफ 95 मैचों के साथ रखता है। जब पैनल बी पैनल ए से उप-निबंधित होता है, तो परिणाम पैनल सी पैनल सी दिखाता है कि रिपी-कैटिंग पोर्टफोलियो में बाधा एफ 95 के साथ शून्य मान और समाप्ति पर 100 पर एक मानक कॉल का भुगतान किया गया है। बी। अप-एंड-आउट कॉल्स एक अप एंड आउट कॉल (यूओसी) की मौजूदा अग्रिम कीमत के ऊपर एक नाकआउट बाधा है। जब बाधा हड़ताल (एच: आई) पर या उससे कम है, तो यूओसी बेकार है क्योंकि यह हमेशा एक सकारात्मक अदायगी से पहले बाहर खटखटाया जाता है इस प्रकार हमें केवल स्ट्राइक (एच: जी.टी.) से ऊपर की बाधाएं निर्धारित करने की ज़रूरत है, जिसका अर्थ है कि यूओसी का आंतरिक मूल्य इससे पहले कि वह बाहर निकलता है। हम एक यूरोपीय कॉल के साथ हमारे प्रतिकृति पोर्टफोलियो को फिर से शुरू करते हैं, क्योंकि यह समाप्ति पर हमारे भुगतान से मेल खाता है। बाधा एच के साथ शून्य मान पाने के लिए, हम एच 2 केपी 1 पर केएचएल की धरती बेच सकते हैं, लेकिन बाधा को हिट नहीं होने पर यह हमें समाप्ति पर समस्या बताएगा। यूओसी (के, एच) सी (के) - यूआईपी (के, एच) - (एच - के) यूआईबी (यू-बी) (यू-बी) यूआईबी (यूके) के साथ यूओसी के लिए हमारी प्रतिलिपि पोर्टफोलियो का इस्तेमाल समीकरण (6) और (1) एच), ई -6 जीटी कश्मीर, एफ, (8) जहां, परिभाषा के अनुसार, बाध्यता एच पहले से पहले हिट हो गई है, तो ऊपर और बांड आईआईबी (एच) की समाप्ति पर 1 भुगतान करता है। यह देखने के लिए कि पोर्टफोलियो यूओसी के भुगतान से मेल खाता है, यूओसी के भुगतान पर विचार करें, यदि बाधा कभी नहीं छूती है-आवश्यक भुगतान उस कश्मीर में एक स्पष्ट कॉल का होता है। नकल पोर्टफोलियो में, अप - डाल में और बांड बेकार है, जबकि मानक कॉल वांछित अदायगी प्रदान करता है। अंततः, बाधा के लिए पहले मार्ग समय पर, ऊपर और आउट कॉल बाहर निकलता है जैसे ऊपर और अंदर रखा जाता है और बांड अंदर दस्तक देते हैं। चूंकि अगली कीमत एच पर है, कॉल-कॉल समानता का अर्थ है प्रतिकृति पोर्टफोलियो को शून्य लागत पर लदान किया जा सकता है। बाधा एच के साथ कश्मीर में अप-एंड-इन लगाए गए मानक कॉल सी (के) के समय मूल्य के साथ बाधा पर और (एच-के) ऊपर और बांड अपने आंतरिक मूल्य से मेल खाते हैं। अप-एंड-इन सेट और बॉन्ड के संदर्भ में अप-एंड-आउट कॉल का प्रतिनिधित्व करने का लाभ यह है कि समीकरण (8) अंतर्निहित कीमतों के लिए किसी भी निरंतर प्रक्रिया के लिए रखती है। यह नुकसान यह है कि अप-इन-प्रतिभूतियों में व्यापार नहीं हो सकता है या केवल भारी फड़फड़ाहट के साथ व्यापार कर सकता है। हम पीसीएस को यह दिखाने के लिए आवेदन कर सकते हैं कि यूएच (के, एच) को केएच-आई कॉल के साथ एच 2 के-एल पर मारा गया परिशिष्ट से पता चलता है कि एचआई पर एच और एचपीएल यूरोपियन कॉल्स पर मारा गया दो बाइयन कॉल (बीसी) खरीदने के द्वारा यूआईबी (61) को दोहराया जा सकता है: परिभाषा के अनुसार, बाइनरी कॉल एक्सपायरी में 1 भुगतान करता है यदि एच ऊपर अंतर्निहित खत्म होता है। UIB की प्रतिकृति के लिए अंतर्ज्ञान यह है कि जब टेबल जेड कन्वर्जेंस ऑफ वर्टिकल स्प्रेड टू बाइनरी कॉल होता है तो यह तालिका पैरामीटर n के साथ एक ऊर्ध्वाधर प्रसार (वी.एस) के मूल्य की गणना करती है, जहां एन कॉल स्प्रेड की संख्या है और इसकी पारस्परिक है हमले के बीच फैल सी एक यूरोपीय कॉल है। जैसा कि n ऊर्ध्वाधर फैलाव में वृद्धि हुई है, एक बाइनरी कॉल (बीसी) के साथ हड़ताल 105, एना-लाइटिकल वैल्यू 0.292384 के साथ। आगे बाधा पर है, प्रत्येक द्विआधारी कॉल की कीमत लगभग-में-धन की समाप्ति की संभावना है। यदि यह संभावना बिल्कुल 0.5 है, तो दो बाइनरी कॉल केवल पर्याप्त होगा। टेलीक-मिनल प्राइस डिलीवरी का सकारात्मक तिरछा मतलब है कि संभाव्यता 0.5 से थोड़ा कम है, जिसमें समीकरण (9) के रूप में कॉल का उपयोग करते हुए एक मामूली सुधार शामिल है। मानक और बाइनरी कॉल के संदर्भ में समीकरण (8) को पुनः लिखते हैं: यह अच्छी तरह से ज्ञात है कि बाइनरी कॉल्स मानक कॉल 10 बीसी (एच) लिम एनसी (एच) - सी (एच एनपीएल) के ऊर्ध्वाधर फैल के अनंत संख्या का उपयोग करके संश्लेषित किया जा सकता है। )। (11) नतीजतन, अप-आउट आउट कॉल को केवल मानक कॉल्स का उपयोग करके दोहराया जा सकता है। स्पष्ट रूप से, द्विपदीय समीकरण (11) में रणनीति को दोहराने वाला कॉल अव्यावहारिक है। इसका समाधान करने के लिए, हम रिचर्डसन एक्सट्रपलेशन नामक एक तकनीक का उपयोग करते हैं, जिसे पहले विकल्प मूल्य निर्धारण के लिए नियोजित किया गया है (देखें, जैसे कि गीस्के और जॉन-बेटे (1 9 84))। पैरामीटर (जैसे कदम आकार) द्वारा अनुक्रमित अनुमानों का एक सेट देखते हुए, रिचर्डसन एक्सट्रपलेशन एक मूल्यवान अनुमान लगाने के लिए एक तकनीक है, जब पैरामीटर अन्तराल है। हम द्विआधारी कॉल के लिए दृष्टिकोण को स्पष्ट करते हैं, जिसमें निम्न ब्योरे और अस्थिरता मानते हुए एफएक्स विकल्प के लिए निम्नलिखित उदाहरण दिया गया है। मान लीजिए एफ एस 100, के 105, आर आर, 4, ओ -20, और टी 0.25 साल। फिर बाइनरी कॉल का सटीक ब्लैक (1 9 76) मॉडल मान 0.292384 है। हड़तालों 105 और 105 nl, n 1,2,3 सहित n ऊर्ध्वाधर कॉल फैले के मूल्य के रूप में वीएस (एन) को परिभाषित करें फिर ब्लैक मॉडल का उपयोग करके, टेबल I सही मूल्य के लिए वीएस (एन) के अभिसरण की गति को इंगित करता है। See Chriss and Ong (1995) for a discussion of this result. 105 105 Time (yrs) 95 Price Time (y rs) 95 Price Time (yrs) 95 Price Time (yrs) 95 Price Figure 3. Static hedge for an up-and-out call (K 100, H 105).Panel A shows a European call struck at 100. Panel B shows five up-and-in bonds with strike 105, which pay 1 each at expiration if the barrier 105 has been hit by then. Panel C shows 0.9524 call struck at 110.25. The total hedge is shown in Panel D, which has been scaled up. While the vertical spread values are slowly converging, five-decimal-place accuracy can be obtained by using the following three-point Richardson extrapolationll: Thus the value of a binary call is well approximated12 by the following sim - ple portfolio of standard calls: Figure 3 shows the value of the components of the static hedge for an up-and-out call with strike K 100, barrier H 105, and initial maturity of one year. The standard call struck at 100 shown in Panel A has both intrinsic and time value along the barrier (1105). Panel B is the H - K 5 up-and-in bonds, which match the intrinsic value of the call along the bar - rier. Panel C is of KH-39 0.9524 calls struck at H2K-39 110.25. which match the time value of the call along the barrier. When Panels B and C are subtracted from Panel A, the result is shown in Panel D, indicating zero value along the barrier and the call payoff at maturity. l1 See Marchuk and Shaidurov (1983), p. 24, for a derivation of Richardson weights. l2The approximation deteriorates near expiration when prices are near the strike. III. Multiple Barrier Options In this section, we discuss complex barrier options involving multiple bar - riers. lU1though more complex specifications are possible, we simply as - sume that the volatility of the underlying is henceforth a deterministic function of time, as in Black39s (1976) model i. e. a(F, t) a(t) for all F gt Q and t E A. Double Knockout Calls Consider a call option that has two barriers,14 so that the call knocks out if either barrier is hit. We assume that the initial forward price and strike are both between the two barriers. There is a parity relation between this double knock-out call (02C) and a double knock in call (12C), which knocks in if either barrier is hit: where K is the strike, L is the lower barrier, and H is the higher barrier. We will again focus on replicating the payoffs of a double knock out call using static portfolios of standard options. On its surface, a double knock out call 02C(K, L,H) appears to be a com - bination of a DOC(K, L) and an UOC(K, H). The payoff of the 02C(K, L, H) is zero if either barrier is hit and the standard call payoff at expiry if neither barrier is hit. A portfolio of a call knocking out at the lower barrier and a call knocking out at the higher barrier would give these payoffs, so long as the knock out of one option also knocked out the other. This additional specifi - cation is necessary as otherwise the surviving option contributes value at the other39s barrier. To construct the replicating portfolio for the 02C(K, L,H), we begin as before by purchasing a standard call C(M) to provide the desired payoff at expiry. We will then attempt to zero out the value at each barrier separately. If we knew in advance that the forward price reaches the lower barrier L before it reaches the higher barrier H, then our previous analysis of a down - and-out call implies that the value of the call C(K) can be nullified along the barrier L by initially selling KL1 puts struck at L2K-I. Thus, the replicat - ing portfolio under this assumption would be: Alternatively, if we knew in advance that the forward price reaches the higher barrier H first, then from equation (10) the replicating portfolio would in - stead be: 39quotartial barrier options may be statically hedged using a portfolio of standard and com - pound options. A discussion of this can be obtained from the authors. 39Double barrier calls and puts have been priced analytically in Kunitomo and Ikeda (1992). Because we don39t know in advance which barrier will be hit first, we try combining the two portfolios: The problem with this portfolio is that each written-in call contributes (neg - ative) value at the other39s barrier. For example, if the forward price reaches H first, then the DIC(K, L) KLp1P(L2Kp1) contributes (negative) value along H. Thus, we need to add securities to the portfolio in an effort to zero out value along each barrier. Along the barrier H, the negative influence of the KLpl puts struck at L2Kp1 can be offset by buying LHpl calls struck at H2KLp2. TO cancel the negative influence of the UIC(K, H) along the barrier L, we will need to extend PCS to binary calls. Recall that a binary call (put) is a cash-or-nothing option that pays 1 if the stock price is above (below) a strike price K, and zero otherwise. Simi - larly, a gap call (put) is an asset-or-nothing option that pays the stock price S if it is above (below) a strike price K, and zero otherwise. The following parity relations are easily shown: Since binary options may be synthesized out of standard options, these par - ity relations imply that the same is true for gap options. The Appendix proves the following symmetry result, relating values of binary options to gap options. Given frictionless markets, no arbitrage, zero drift, and deterministic volatility, the following relationships hold: where the geometric mean of the binary call strike K and the binary put strike H is the forward price F: Armed with this result, we can cancel the negative influence of the UIC(K, H) in equation (15) along the barrier L. Thus, our first layer approx - imation for the double knock out call value is: Although equation (17) is a better approximation than equation (15), the added options still contribute value at the other39s barrier. Thus, we need to continue to subtract or add options, noting that each additional layer of hedge at one barrier creates an error at the other barrier. As a result, the replicating portfolio for a double knock-out call can be written as an infinite sum: Note that the options in the infinite sum are all initially out-of-the-money. Furthermore, as n increases, the number of options held and the options39 moneyness both decrease exponentially. As a result, for large n, the options39 contribution to the infinite sum becomes minimal. Thus we can get a good approximation to the option value with a small value of n. Table I1 shows a typical example. With F K 100, barriers at L 95 and H 105, r rf 4 percent, v 20 percent, and T 0.25, five-decimal-place accuracy has occurred by summing the values for n -0, 1, 2. The value for n oo is obtained from the analytic solution by Kunitomo and Ikeda (1992). Figure 4 graphs the value of the second-layer hedge, i. e. n 1in equation (18), for a double knock out call option. Notice that the value along both barriers is very close to zero. In general, bringing in the barriers of a double knock out call reduces both its value and the number of options needed to achieve a given accuracy. B. Roll-Down Calls A double knock out call involves two barriers that straddle the initial spot. In contrast, a roll-down call (RDC)l nvolves two barriers, both below the initial spot and strike. If the nearer barrier is not hit prior to maturity, then a roll-down call has the same terminal payoff as a standard call struck at KO. However, if the nearer barrier H1 is hit prior to maturity, then the strike is rolled down to it, and a new out-barrier becomes active at M2lt N1. For later use, we extend the definition of a RDC as follows. We assume that if the nearer barrier H1is hit, then the strike rolls down to some level Kl EHI, KOgt l-or a discussion of roll-down calls and roll-up puts, see Gastineau (1994) Table I1 Convergence of Replicating Portfolio to Double Knock out Call (02C)Value The values are generated by using the static hedging portfolio for 02C(K, L,H)for increasing values of N. C and P are European calls and puts, respectively K is the strike price L and H are lower and upper barriers, respectively BC is a binary call GP is a gap put is the foreign interest, rate and r is the domestic interest rate (r is the volatility of the underlying asset and T is the time to maturity of the option. The parameters for the option are initial forward price F 100, K 100, barriers at L 95 and H 105, r rf 456, a 0,and T 0.25. The value for N x is given by the analytic solution of Kunitomo and Ikeda (1992). N Value of Replicating Portfolio which need not equal HI. We also assume that if the farther barrier 1 is h it, then the strike rolls down to some level Kz E Hz, K1 artd a new out - barrier becomes active further down at H3 lt Hz This process repeats an arbitrary number of times. Let HI. Hn be a decreasing sequence of39 positive barrier levels set below the initial forward price, F gt HI. Similarly, let KO. Kn be a decreasing sequence of strikes, with Kt 2 Hi, i 1. n. Then at initiation, the ex - tended roll-down call can be decomposed into down-and-out calls as This representation is model-independent. To obtain a standard roll-down call, we set n 1and K1 HI. For any n, the hedge works as follows. if the underlying never hits the barrier HI, then the DOC(Ko, H1) provides the desired payoff (FT - KO), and the knock out calls in the sum cancel each Time (yrs) 95 Forward Price Figure 4. Second layer static hedge for a double knockout call option with barriers at 95 and 105 and strike at 100. other. If the barrier H1 is hit, then the DOC(Ko, HI) vanishes, as does the written DOC(Kl, H1). Thus the position when F HI may be rewritten as This is analogous to our initial position. In between any two barriers Hi and Hitl, the DOC(Ki, Hil) provides the desired payoff if the next barrier is never hit, but the DOCS in the sum roll down the strike to Kil if this bar - rier is hit. When PCS holds at each barrier, the extended roll-down call value at ini - tiation, for F gt HI, is given by The replicating strategy is as follows. At any time, we are always holding a call struck at or above the highest untouched barrier and puts struck at or below this barrier. Thus, if the forward price never reaches this barrier, the call pro - vides the desired payoff at expiry, and the puts expire worthless. Each time the forward price touches a barrier Hi for the first time, we sell the call struck at Kil and buy back Ki. l l puts struck at H sell Kidilcl puts struck at H Krl and buy the call struck at Ki. PCS guarantees that both transitions are self-financing. As previously mentioned, the standard roll-down call is the special case of equation (21) with n 1and K1 HI. Figure 5 illustrates the replication Time (yrs) 95 Price Time (yrs) 95 Price Figure 5. The two part static hedge for a roll-down call (KO 100,Kl HI 95, Hz -90). Panel A shows the replicating portfolio when the price is above the first barrier, 95. Panel B shows the replicating portfolio after the barrier 95 has been hit. The two portfolios are identical along the barrier of 95, and the second is worth zero along the lower barrier 90. Panel (2 is a different perspective of Panel B, showing more clearly value of the portfolio at 95. procedure for a standard roll-down call with initial strike KO 100, rolled - down strike K1 H1 95, and final out-barrier H2 90. Panel A shows the value of the replicating portfolio before the first barrier is hit. IS the forward hits the first barrier HI, then the portfolio is costlessly revised to C(H1)-H1 H HC39). Panel B shows the value of this new portfolio for prices below 95. The revised portfolio has zero value along the knock. out barrier Hz 90 as required. Panel C is just Panel B with a different orien - tation, showing that the value of the two portfolios match along the first barrier H1 95. C. Ratchet Calls A ratchet call is an extended roll-down call, with strikes set at the barri - ers, which never knocks out completely. This is accomplished k)y having the only purpose of the lowest barrier be to ratchet down the strike. This sug - gests that we can create a static hedge for a ratchet call once we account for this difference. To synthesize a ratchet call with initial strike KO, we set the strikes P(, in the ERDC(Ki, Hi) equal to the barriers Hi, i 1. n -1.To deal with the fact that an extended roll-down call knocks out completely if39 the forward reaches H. while the ratchet call rolls down the strike to H. we replace the last spread of down-and-out calls DOC (H. H,, - DOC (H. H,) in equa - tion (19) with a down-and-in call DIC(H,,H,). Thus, a model-independent valuation of a ratchet call, using barrier calls, is Substituting in the model-free results, DOC(K, H) C(K)-DIC(K, H) and DIC(H, H) P(H) simplifies the result to: When PCS holds at each barrier, a ratchet call can be represented in terms of standard options as Hedging with this replicating portfolio is analogous to the extended roll-down call hedge: the position held is changed at every barrier, and the transitions are self-financing. Comparing equation (24) with its counterpart for an ex - tended roll-down call allows us to capture the value of removing an out-barrier at H, l. Setting Ki Hi in equation (21) and comparing with equation (24) im - plies that the value of removing this barrier is given by H. H, zl puts struck at H: D. Lookback Calls A floating strike lookback call (LC) is similar to a ratchet call, except that there is a continuum of rolldown barriers extending from the initial forward price to the origin, so that the strike price is the minimum price over the option39s life. A ratchet call with KO F, H, 0, undervalues a lookback because the active strike is always at or above that of a lookback. Thus, a model-free lower bound for a lookback call is When PCS holds at each barrier, this lower bound can be expressed in terms of standard options: The portfolio of standard options undervalues the lookback because the call held is always struck at or above the lookback. By adding more strikes, we obtain a tighter bound. Since the underlying39s prices are actually discrete, one possibility is to set the barriers at each possible level. To obtain an upper bound on the value of a lookback call, we may use an extended ratchet call, which ratchets the strike down to the next barrier each time a new barrier is crossed. When the last positive barrier is touched, the strike is ratcheted down to zero. Thus, a model-free upper bound in terms of down-and-in bonds is LC 5 C(Hl) - P(H,) C (H, - Hil)DIB(Hi) H, DIB(H,). (27) Intuitively, when each barrier M, is reached for the first time, the down - and-in bonds ratchet down the delivery price of the synthetic forward C(H1) - P(H1) by Hi - Hil dollars. When PCS holds at each barrier, it can be used to represent the down - and-in bonds in terms of standard options. 1.n particular, using an argument analogous to that in the Appendix for an up-and-in bond, a down-and-in bond can be replicated using the following static portfolio of binary and stan - dard puts: DIB(H) 2BP(H) - H-39P(H). Richardson extrapolation may again be used to efficiently represent the binary puts in terms of standard puts.16 We can modify the above bounds for both a forward-start and a backward - start lookback call. Let 0 be the valuation date and let TI be the start date of the lookback period. In the backward-start case (TI lt O), the underlying has some minimum-to-date, m, which is in between two barriers Hi and. Hil for some i. The lower bound is thus a ratchet call with initial strike Hi and barriers Hi where i i 1. n -1. Similarly, the upper bound is an ex - tended ratchet call with initial strike Hil and barriers Hi, i i 1. n -1. Because ratchet calls and extended ratchet calls can be replicated with standard options, we have bounded the lookback call in terms of static portfolios of standard options. l6 Richardson extrapolation may also be used to enhance convergence of the lower and upper bounds of a lookback call by extrapolating down the distance between barriers. A discussion of this can be obtained from the authors. In the forward-start case (TI gt 0), we use the fact that the formula for a backward-start lookback call is linearly homogeneous in the current spot forward price and the minimum to date. At TI, the minimum is STlSO the lookback call value at TI may be written as c(.)ST1, for some function c(.) independent of ST,.Thus, for a forward-start LC, we should initially hold 39units of the underlying. Moving forward through time, the dividends received are reinvested back into the security, bringing the number of units held up to c by time TI. At TI, the c shares can be sold for proceeds just sufficient to initiate the approximating strategy described above. TV. Nonzero Carrying Costs The previous results were derived assuming that the drift of the under - lying was zero (under the martingale measure). This assumption is natural for options on futures, but strained somewhat for options on the spot. In this section, we relax the assumption of zero drift. Although we are no longer able to obtain exact static hedges for options on the spot, we can develop tight bounds on option values using static hedges. Bowie and Carr (1994) give the bounds for single barrier options, so we concentrate on multiple barrier calls. For concreteness, we deal with options on spot foreign exchange (FX), assuming constant interest rates for simplicity. Then, interest rate parity links forward prices (F(t)) and spot prices (S(t)) of FX by where r is the domestic rate and rf is the foreign rate. Thus, when the spot hits a flat barrier H, the forward hits a time-dependent barrier H(t) A. Double Knock out Calls When the drift of the underlying is not zero, a double knock out call on the spot with flat barriers L and His equivalent to a double knock out call on the forward price with time-dependent barriers L(t) with t E 0, TI. We can give flat upper and lower bounds on these time-dependent barriers. If r gt rf17: Double knock out options increase in value as the out-barriers are moved farther apart. Thus for the double knock out call on the forward, ls we can write l7 The details for hedging multiple barrier calls when r lt rf are left as an exercise for the reader. l8 Since interest rates are constant, results for options on forwards also hold for options on futures. Figure 6. Synthesizing a double knockout call with cost of carry. 39Value of the upper (dashed line) and lower (dotted line) bound static hedges for a double knock-out call (K 100, lower barrier 95, and upper barrier 105) compared with the analytical value (solid line). The foreign interest rate (rf) is fixed at 4 percent and the domestic interest rate (r) varies from 1percent to 7 percent. For r lt ry the lower bound is the upper bound and vice versa. Furthermore, by definition, the double knock out on the forward with time - dependent barriers is the same as the double knock out on the spot with flat barriers: Combining equations (29) and (30) allows us to bound the value for a double knock-out call on the spot between the values of two double knock out calls on the forward: As we know how to replicate each of the two bounds with a static portfolio, we have upper and lower bounds on the double knock out call on the spot. Figure 6 indicates how the bounds vary with the interest rate differential. B. Roll-Down Calls Recall that under zero drift and with PCS holding at every barrier, an extended roll-down call (ERDC) was synthesized out of standard call and put options in equation (21). When the drift of the underlying is not zero, an ERDG on the spot with flat strikes Ki, i 0. n and barriers Hi, i 1. n is equivalent to an ERDC on the forward with time-dependent strikes Kit and barriers Hit Hie (quot-39f )(T-t) : We can give flat upper and lower bounds on these time-dependent quanti - ties. If r gt rf, The ERDCf value is decreasing in the level of the strikes and increasing in the level of the barriers. Thus, we can place bounds on ERDCf(Kit, Hit): From Section 1II. B we can create static hedge portfolios for the upper and lower bounds, and the tightness of these bounds for a standard roll-down call (n 1, Kl HI) is shown in Figure 7. C. Ratchet Calls A ratchet call on the spot is a special case of an extended roll-down call on the spot created by setting the strikes Ki equal to the barriers Hi and re - moving the last knock-out barrier. As a result, the bounds for a ratchet call on the spot are determined similarly to an extended roll-down call. The lower bound is a ratchet call that ratchets every time the flat barrier Hi is hit to a strike of Hi. The higher bound is an extended ratchet call on the forward that ratchets every time the barrier Hi is hit to a strike of Hi: D. Loohbach Calls Consider a ratchet call on spot with the initial strike KOset at the initial spot price and the final rung H, set at the origin. As in the case of zero carrying costs, this ratchet call undervalues a lookback due to the discrete - ness of the rungs. As a result, the lower bound for a ratchet call on spot is also a lower bound for a lookback call on spot. Bnupper bound for a lookback call on spot can be obtained from an extended ratchet call on spot, which ratchets the strike to the next lower barrier. However, an extended ratchet call on the spot with flat barriers is equivalent to an extended ratchet call on forward with time-dependent barriers. A lower bound can be obtained from a generalization of equation (27). For each time-dependent barrier, Hit, each Figure 7. Synthesizing a roll-down call with cost of carry. Value of the upper (dashed line) and lower (dotted line) bound static hedges for a roll-down call (KO 100,K1 H1 95, Hz 90) compared with the analytical value (dotted line). The foreign interest rate is fixed at 4 percent and the domestic interest rate varies between 1percent and 7 percent. When the domestic rate is below the foreign rate, the lower bound becomes the upper bound and vice versa. time the forward reaches the flat upper bound Hi, we ratchet the strike to the flat lower bound Hi. The resulting bounds for a lookback call on spot at issuance are: Using this approach, bounds for forward and backward start lookback calls can also be obtained. V. Conclusion The concept of hedging exotic options with a static portfolio of standard instruments simplifies the risk management of exotic options in several ways. First, when compared with dynamically rebalancing with the underlying, the static portfolio is easier to construct initially and to maintain over time. Instead of continuously monitoring the underlying and trading with every significant price change, the hedger can place contingent buy and sell orders with startstop prices at the barriers. Second, when compared with offset - ting the risk using another path-dependent option, the investor uses instru - ments with which he is familiar, the risks are better understood, and the markets are more liquid. A static hedge can exactly replicate the payoffs of the path-dependent op - tion when carrying costs are zero and a pair of static hedges can bracket the payoffs when nonzero carrying costs are introduced. These techniques apply to many path-dependent options, which are related in that their payoffs de - pend on whether one or more barriers are crossed. The fundamental result underpinning the creation of our replicating port - folios is put-call symmetry. By using this simple formula, we can engineer simple portfolios to mimic the values of standard options along barriers. The result is an extension of put-call parity to different strike prices which pro - vides further insight into the relation between put and call options. The main extension to this line of research would involve relaxation of the zero drift and symmetry conditions. Just as bounds are developed when drift is nonzero, perhaps tight bounds can be developed when volatility structures display asymmetry with sufficient stationarity. In the interests of brevity, this extension is left for future research. Let F(t) be the forward price at t E O, TI of the underlying for delivery in T years. Let a(F(t),t) be the local volatility rate of the forward price as a function of the forward price F(t) and time t. Under the martingale mea - sure, lquothe forward price process is Let B(0) be the price at time 0 of a bond paying one dollar in T years and let C(O, K,T) and P(O, K,T) be the initial value of an European call and put struck at K and maturing in T years. Let G,(K, T) B(0)-39C(O, K,T) and G,(K, T) B(0)-39P(O, K,T) be the respective forward values quoted at 0 of these options for delivery in T years. We now show that both forward values satisfy the following forward partial differential equation (pde): We use a pure discount bond maturing at T as the numeraire In contrast to Black (1976) backward pde, this pde indicates how (forward) option values change with the strike and maturity, holding the initial time and underlying forward price fixed. The above result and its proof below are essentially due to Dupire (1994). To prove the forward pde for a call, we begin with the standard result that the forward price of a call is given by its expected payoff under the equiva - lent martingale measure: where p (F(T),T F(O),O) is the transition density of the forward price, indi - cating the probability density of the forward price being at F(T) at time T, given that it is at F(0) at time 0. The Kolmogorov forward equation govern - ing this density is Differentiating (A3) twice with respect to IS gives Substituting into the Kolmogorov equation gives Integrating twice with respect to K gives the desired result. The same proof applies to European puts. It is easily verified that Black (1976) formulas for calls and puts satisfy the above equation with u2(K, T) (o-2. The forward call value G,(K, T) is the unique solution of equation (A2) subject to the following boundary conditions: (a) G,(K, O) maxF(O) - K, O, K gt 0 (b) lim G,(K, T) 0,T gt 0 Similarly, the forward put value G,(K, T) is the unique solution of equation (A2) subject to the following boundary conditions: (a) G,(K, O) maxK - F(O),O, K gt 0 (b) lim G, (K, T) - K, T gt 0 Let u,(x, T) G,(K, T)(KF(0))4392 and u,(x, T) G,(K, T)(KF(0))P1392 be normalized call and put forward values, respectively, written as functions of x ln(KF(O)) and maturity T. Then, the normalized values both solve the following pde: where v (x, T) a(F(0)ex, T)is the volatility expressed as a function of x and T. The normalized forward call value u,(x, T) is the unique solution of equa - tion (A7) subject to the following boundary conditions: (a) u,(x, O) maxe-quotI2 - ex392,0, x E It (b) limu,(x, T) 0, T gt 0 (c) lim u, (x, T) ePquotquot, T gt 0. Similarly, the normalized forward put value u,(x, t)is the unique solution of equation (A7) subject to the following boundary conditions: - ePx2,0,x E iYi (b) lim up (x, T) - exquot, T gt 0 (c) lim u,(x, T) 0, Tgt 0. Our symmetry condition is that v2(x, T) u2(-x, T) for all x E I and for all T gt 0. Given this condition, it is easy to see that u,(x, T) and up(-x, T) satisfy the same boundary value problems and are therefore equal: u,(x, T) up(-x, T), forallx E MandforallTgt 0 Reverting to forward prices gives where (K, K,)1392 F(0). Multiplying both sides by F(O) gives the de - sired result: Binary Put-Call Symmetry Assuming that volatility is a function of time alone, the payoff and values for binary calls and puts, and gap calls and puts with time T until maturity, and strike H can be written as: Payoff at time T Value at time 0 BC l(F(T) gt H) BC B(0)N(d2) GCF(T)l(F(T)gtH) GCB(0)F(O)N(dl) BP l(F(T) lt H) BP B(O)N(-d2) GP F(T)l(F(T)lt H) GP B(O)F(O)N(-dl), where is the standard normal distribution function, It may be verified by direct substitution that: where the geometric mean of the bianry (gap) call strike K and the gap (binary) put strike H is the forward price E39: (KH)l12 F. We can rewrite an up-and-in bond as a combination of an u. p-and-in binary call and an up-and-in binary put: However, an UIBC(H) is the same as a standard BC(H), as it has to knock in to have positive value. We can expand the UIBP(H) into its components: UIB(H) BC(H) lim nUIP(H, H) - UIP(H - n-l, We can apply PCS: The approximation error is 8(nP2).The final term can now be rewritten as a binary call and so REFERENCES Bates, David, 1988, The crash premium: Option pricing under asymmetric processes, with ap - plications to options on Deutschemark futures, Working paper, University of Pennsylvania. Bates, David, 1991, The crash of 87: Was it expected The evidence from options markets, Journal of Finance 46, 1009-1044. Black, Fischer, 1976, The pricing of commodity contracts, Journal of Financial Economics 3, 167-179. Black, Fischer, and Myron Scholes, 1973, The pricing of options and corporate liabilities, The Journal of Political Economy 81, 637-659. Bowie, Jonathon, and Peter Carr, 1994, Static simplicity, Risk 7, 45-49. Chriss, Neil, 1996. Black-Scholes and Beyond: Modern Option Pricing (Irwin Professional Pub - lishing, Burr Ridge, IL). 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